Большая советская энциклопедия - экстремум
Экстремум
экстремум
Экстремум (от лат. extremum — крайнее), значение непрерывной функции f (x), являющееся или максимумом, или минимумом. Точнее: непрерывная в точке х0 функция f (x) имеет в x0 максимум (минимум), если существует окрестность (x0 + d, x0 — d) этой точки, содержащаяся в области определения f (x), и такая, что во всех точках этой окрестности выполняется неравенство f (x0), ? f (x) соответственно, f (x0) ? f (x). Если при этом существует такая окрестность, что в ней f (x0) > f (x) или f (x0) < < f (x) при х ? x0, то говорят о строгом, или собственном, максимуме (минимуме), в противном случае — о нестрогом, или несобственном, максимуме (минимуме) (на рис. 1 в точке А достигается строгий максимум, в точке В — нестрогий минимум). Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Для того чтобы функция f (x) имела Э. в некоторой точке x0, необходимо, чтобы она была непрерывна в x0 и чтобы либо f`(x0) = 0 (точка А на рис. 1), либо f`(x0) не существовала (точка С на рис. 1). Если при этом в некоторой окрестности точки x0 производная f'(x) слева от x0 положительна, а справа отрицательна, то f (x) имеет в x0 максимум; если f'(x) слева от x0 отрицательна, а справа положительна, то — минимум (первое достаточное условие Э.). Если же f'(x) не меняет знака при переходе через точку x0, то функция f (x) не имеет Э. в точке x0 (точки D, Е и F на рис. 1). Если f (x) в точке x0 имеет п последовательных производных, причем f'(x0) = f``(x0) =...= f (n-1) (x0)=0, a f (n)(x0)?0, то при п нечетном f (x) не имеет Э. в точке x0, а при п четном имеет минимум, если f (n) (x0) > 0, и максимум, если f (n) (x0) < 0. Э. функции не следует смешивать с наибольшим и наименьшим значениями функции. Аналогично Э. функции одного переменного определяется Э. функции нескольких переменных. Необходимым условием Э. является в этом случае обращение в нуль или же несуществование частных производных первого порядка. Например, на рис. 2 частные производные равны нулю в точке М, на рис. 3 в точке М они не существуют. Если в некоторой окрестности точки М (х0, y0) существуют и непрерывны первые и вторые частные производные функции f (x, у) и в самой точке f'x = f'y = 0, D = f'' xx f'' уу > 0, то f (x, у) в точке М имеет Э. (максимум при f''xx < 0 и минимум при f''xx > 0); Э. в точке М не существует, если D < 0 (в этом случае М является т. н. седловиной, или точкой минимакса, см. рис. 4). Достаточные условия Э. функций многих переменных сводятся к положительной (или отрицательной) определенности квадратичной формы Sni, k=1 aikDxiDxk где aik — значение f''xixk в исследуемой точке. См. также Условный экстремум. Термин «Э.» употребляется также при изучении наибольших и наименьших значений функционалов в вариационном исчислении. Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.
Рейтинг статьи:
Комментарии:
См. в других словарях
Большой энциклопедический словарь
Современный Энциклопедический словарь
Вопрос-ответ:
Похожие слова
Ссылка для сайта или блога:
Ссылка для форума (bb-код):
Самые популярные термины
1 | 4920 | |
2 | 3035 | |
3 | 3004 | |
4 | 2835 | |
5 | 2827 | |
6 | 2795 | |
7 | 2731 | |
8 | 2717 | |
9 | 2602 | |
10 | 2528 | |
11 | 2350 | |
12 | 2220 | |
13 | 2183 | |
14 | 2178 | |
15 | 2153 | |
16 | 2067 | |
17 | 2058 | |
18 | 2045 | |
19 | 2030 | |
20 | 1987 |